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Le raisonnement par disjonction de cas Bibmath.net
Qu’est-ce qu’un raisonnement par disjonction de cas? Quand l’utiliser? Présentation de deux exemples, l’un en arithmétique, l’autre pour résoudre une équation faisant intervenir des valeurs absolues.
En mathématiques, une application linéaire d’un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F définis sur le corps des réels ou des complexes est continue si E et F sont de dimension finie, ce qui fait que dans le contexte typiquement algébrique des espaces de dimension finie, la question de la continuité d’une application linéaire ne se pose pas ; en revanche, si E et F sont, par exemple, des espaces vectoriels normés quelconques, ce n’est plus vrai, et il y a donc lieu de préciser ce qu’on entend par une application linéaire continue. Parmi les applications linéaires, celles qui sont continues sont les seules intéressantes en analyse fonctionnelle. Il importe également, de manière à pouvoir définir la notion de convergence vers 0 d’une suite d’applications linéaires continues
(u_{n}), de munir l’espace des applications linéaires continues d’une topologie. En réalité, plusieurs topologies, plus ou moins fines, sont possibles. Déjà quand on considère des formes linéaires continues sur un espace vectoriel normé E, c’est-à-dire des applications linéaires continues de E dans le corps de base K (corps des nombres réels ou complexes), ces formes constituent le dual topologique de E, noté E’ ; cet espace peut être muni de diverses topologies, dont les plus importantes sont la « topologie forte » et la « topologie *-faible » ; cette dernière ne peut plus être définie par une norme et nécessite de se placer dans le cadre plus général des espaces localement convexes. Cela vaut encore dans le cas d’espaces d’applications linéaires continues à valeurs, par exemple, dans un espace vectoriel normé : l’étude des différentes topologies qu’on peut définir sur ces espaces rend nécessaire le cadre des espaces localement convexes. Cela est d’autant plus vrai que les développements de l’analyse fonctionnelle depuis le début des années 1950 (la théorie des distributions, notamment), n’a pu se faire qu’en sortant du cadre des espaces vectoriels normés pour se placer dans celui des espaces localement convexes ; néanmoins, comme on va le voir, la théorie dans le cas localement convexe général est assez complexe, et se simplifie beaucoup dans celui des espaces tonnelés et semi-complets, comme sont la quasi-totalité des espaces rencontrés en analyse fonctionnelle. En liaison étroite avec l’étude des espaces d’applications linéaires continues vient celle des applications bilinéaires continues et la notion importante d’hypocontinuité, due à Nicolas Bourbaki1.